Qué (quién) es Алгебраическая геометрия - definición

РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ

Бирациональная эквивалентность; Рациональное отображение

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов - плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) - многочлен от координат x и y. Например, окружность x2 + y2 - 1 = 0 и кривая x3 + x2 - y2 = 0 - алгебраические кривые, а y - sin x = 0 - трансцендентная кривая (т.е. алгебраической кривой не является). Алгебраическое уравнение с тремя неизвестными определяет алгебраическую поверхность в пространстве. Две алгебраические поверхности пересекаются по алгебраической пространственной кривой. Понятия "алгебраическая кривая" и "алгебраическая поверхность" допускают обобщения в пространствах размерности более трех, где их аналогами служат алгебраические многообразия.

Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим). Например, прямая (уравнение первой степени) и окружность (уравнение второй степени) могут иметь самое большее две общие точки, но могут иметь и только одну общую точку (если прямая касается окружности) или ни одной.

Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной. Число касательных называется кратностью точки. Например, (0,0) - особая точка кривой x3 + x2 - y2 = 0. Для любой кривой заданной степени существует предел числа и кратности особых точек, и многие свойства кривой определяются характером ее особых точек. Гораздо сложнее обстоит дело в случае поверхностей и других многообразий. Например, на алгебраической поверхности помимо конечного числа изолированных особых точек могут быть несколько особых кривых, т.е. кривых, каждая точка которых - особая.

Переход от кривой f (x, y) = 0 к кривой f (x, xy) = 0 характерен для процесса, известного как квадратичное преобразование. Например, уравнение x3 + x2 -y2 = 0 преобразуется в x3 + x2 - x2y2 = 0 или в x + 1 - y2 = 0 после деления всех членов уравнения на x2. В этом случае у преобразованной кривой нет особых точек, и можно показать, что с помощью последовательности квадратичных преобразований особые точки любой алгебраической кривой можно превратить в неособые. Квадратичное преобразование - простейшее в общем классе бирациональных преобразований. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.

Алгебраическая геометрия

раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в n-мерном пространстве, координаты которых (x₁, x₂,...,x_n ) являются решениями системы уравнений:

F₁(X₁, Х₂ ..., X_n) = 0,

F_m(X₁, x₂, ..., X_n) = 0,

где F_i,..., F_m - многочлены от неизвестных x₁, ..., x_n. Каждое алгебраическое многообразие имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебраические многообразия, имеющие размерность 1, называются алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 - алгебраическими поверхностями. Примерами алгебраических кривых могут служить Конические сечения.

Два алгебраических многообразия называются бирационально эквивалентными, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебраические многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из основных задач А. г. является построение бирациональных инвариантов для алгебраических многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств математического анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебраическому многообразию. Кроме трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрические методы проективной геометрии (См. Проективная геометрия), а также топологические методы (см. Топология). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, например род кривой (см. ниже), алгебраических многообразий носят топологический характер. Особенно большую роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы японского математика Хиронака, согласно которой всякое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек.

Наиболее разработанная часть А. г. - теория алгебраических кривых. Основным бирациональным инвариантом алгебраической кривой является её род. Если алгебраическая кривая плоская, т. е. задаётся в декартовых координатах уравнением F(х, у) = 0, то род кривой g = (m - 1)(m - 2)/2 - d, где m - порядок кривой, а d - число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирационально эквивалентны прямым, т. е. параметрически могут быть заданы при помощи рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими функциями (См. Эллиптические функции) и поэтому называются эллиптическими кривыми. Кривые рода больше 1 могут быть параметризованы с помощью автоморфных функций (См. Автоморфная функция). Каждая кривая рода g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно определяется 3g - 3 комплексными параметрами, которые сами пробегают некоторое алгебраическое многообразие.

В многомерном случае наиболее изученный класс алгебраических многообразий образуют абелевы многообразия. Это - замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно Группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями. Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным. Алгебраическая кривая является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда она имеет род 1, т. е. является эллиптической кривой.

Теория алгебраических кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая алгебраическая кривая рода, большего 0, канонически погружается в некоторое абелево многообразие, называемое якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет самоё кривую.

Исторически А. г. возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. А. г. постепенно переходит от изучения специальных классов кривых и поверхностей к постановке общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая А. г. была построена в конце 19 и начале 20 вв. в трудах немецкого математика М. Нётера, итальянских математиков Ф. Энрикеса, Ф. Севери и др. Своего расцвета А. г. достигает в 20 в. (работы французского математика А. Вейля, американского математика С. Лефшеца и др.). Крупные достижения в А. г. имеют советские математики Н. Г. Чеботарев (См. Чеботарёв), И. Г. Петровский, И. Р. Шафаревич.

А. г. является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. Методы А. г. оказывают огромное влияние на такие смежные с А. г. разделы математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также на более далёкие от А. г. разделы математики - такие, как уравнения в частных производных, алгебраическая топология, теория групп и др.

Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948; Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1-3, М., 1954 - 55; Алгебраические поверхности, М., 1965; WeiI A.. Foundations of algebraic géometry, N. Y., 1946.

Б. Б. Венков.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел математики, изучающий алгебраические кривые (поверхности) и их многомерные обобщения - алгебраические многообразия.

Wikipedia

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.

Основной объект изучения алгебраической геометрии — алгебраические многообразия, то есть геометрические объекты, заданные как множества решений систем алгебраических уравнений. Наиболее хорошо изучены алгебраические кривые: прямые, конические сечения, кубики (такие как эллиптическая кривая) и кривые более высоких порядков (примеры таких кривых — лемнискаты). Базовые вопросы теории алгебраических кривых касаются изучения «специальных» точек на кривой, таких как особые точки или точки перегиба. Более продвинутые вопросы касаются топологии кривой и отношений между кривыми, заданными дифференциальными уравнениями.

Современная алгебраическая геометрия имеет множественные взаимосвязи с самыми различными областями математики, такими как комплексный анализ, топология или теория чисел. Изучение конкретных систем уравнений с несколькими переменными привело к пониманию важности исследования общих внутренних свойств множеств решений произвольной системы алгебраических уравнений и, как следствие, к глубоким результатам во многих разделах математики.

В XX веке алгебраическая геометрия разделилась на несколько (взаимосвязанных) дисциплин:

Основное направление алгебраической геометрии — изучение свойств алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем (в частности, над полем комплексных чисел).
Изучение алгебраических многообразий над алгебраическим числовым полем (или даже над кольцом) — предмет арифметической (или диофантовой) геометрии, раздела алгебраической теории чисел.
Изучением вещественных точек комплексного многообразия занимается вещественная алгебраическая геометрия.
Большая часть теории особенностей относится к изучению особенностей алгебраических многообразий.
На пересечении алгебраической геометрии и компьютерной алгебры лежит вычислительная алгебраическая геометрия. Её основная задача — создание алгоритмов и программного обеспечения для изучения свойств явно заданных алгебраических многообразий.

Основной поток исследований в алгебраической геометрии XX века шёл при активном использовании понятий общей алгебры, с акцентом на «внутренних» свойствах алгебраических многообразий, не зависящих от конкретного способа вложения многообразия в некоторое пространство. Ключевым её достижением стала теория схем Александра Гротендика, позволившая применить теорию пучков к исследованию алгебраических многообразий методами, схожими с изучением дифференцируемых и комплексных многообразий. Это привело к расширению понятия точки: в классической алгебраической геометрии точку аффинного многообразия можно было определить как максимальный идеал координатного кольца, тогда как все точки соответствующей аффинной схемы являются простыми идеалами данного кольца. Точку такой схемы можно рассматривать и как обычную точку, и как подмногообразие, что позволило унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии. Доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом стало одним из ярчайших примеров мощи такого подхода.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическая геометрия

Ejemplos de uso de Алгебраическая геометрия

1. Для них она привлекательна прежде всего тем, что в ней востребовано огромное количество современных математических методов, таких как комплексный анализ и алгебраическая геометрия.